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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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3. Encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones
g) f(x)=xln⁡2xf(x)=x \ln ^{2} x

Respuesta

Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x) vamos a seguir los pasos que vimos en clase.

1) Identificamos el dominio de f(x)f(x)

El dominio de ff es (0,+∞)(0,+\infty)

2) Derivamos f(x)f(x)

f′(x)=ln⁡2(x)+x⋅2⋅ln⁡(x)⋅1x= ln⁡2(x)+ 2⋅ln⁡(x)f'(x) = \ln^2(x) + x \cdot 2 \cdot \ln(x) \cdot \frac{1}{x} = \ln^2(x) + 2 \cdot \ln(x)

3) Igualamos f′(x) f'(x) a cero

ln⁡2(x)+ 2⋅ln⁡(x)=0\ln^2(x) + 2 \cdot \ln(x) = 0

Saco factor común ln⁡(x)\ln(x)

ln⁡(x)⋅(ln⁡(x)+2)=0\ln(x) \cdot (\ln(x) + 2) = 0

Esta multiplicación puede ser cero si:

✅ ln⁡(x)=0→x=1\ln(x) = 0 \rightarrow x = 1

✅ ln⁡(x)+2=0\ln(x) + 2 = 0

Despejamos:

ln⁡(x)=−2\ln(x) = -2

x=e−2=1e2x = e^{-2} = \frac{1}{e^2}

Por lo tanto, los puntos críticos de ff son x=1x=1 y x= e−2x = e^{-2}

4) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:

- (0,e−2) (0, e^{-2}) - (e−2,1) (e^{-2}, 1) - (1,+∞) (1, +\infty)

5) Evaluamos el signo de f′(x) f'(x)  

En  (0,e−2) ⇒f′(x)>0→ (0, e^{-2}) \Rightarrow f'(x) > 0 \rightarrow Por lo tanto f f es creciente
En  (e−2,1) ⇒f′(x)<0→ (e^{-2}, 1) \Rightarrow f'(x) < 0 \rightarrow Por lo tanto f f es decreciente

En  (1,+∞) ⇒f′(x)>0→ (1, +\infty) \Rightarrow f'(x) > 0 \rightarrow Por lo tanto f f es creciente

Recapitulando entonces,

Intervalo de crecimiento: (0,e−2)∪ (1,+∞)(0, e^{-2}) \cup (1, +\infty)

Intervalo de decrecimiento: (e−2,1)(e^{-2}, 1)
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Benjamin
20 de mayo 18:15
Como escribo un ln al cuadrado en la calculadora?
0 Responder
Flor
PROFE
20 de mayo 22:38
@Benjamin
Si querés hacer, por ej, ln⁡2(2)\ln^2(2) lo escribis así: 

( ln 2  )^2 -> Clave no olvidarte de los paréntesis encerrado al ln 2 y ahí elevas al cuadrado 

Otra opción sino es escribir únicamente ln 2, ahí apretas el "igual"... y después Ans^2 
0 Responder